miércoles, 9 de junio de 2010

MATEMÁTICAS EN LA INDIA



Si bien algunos testimonios permiten opinar que durante la época védica (1500 a 1000 A.C.) y brahmánica (siglo V) existió en la India una ciencia matemática, no obstante fue durante la época clásica (siglos I al VIII) cuando los matemáticos hindúes llegaron a la madurez.

Con anterioridad a este período, los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego. La marcha de Alejandro Magno sobre la India tuvo lugar durante el siglo IV. Por otra parte, la expansión del budismo en China y la del mundo árabe multiplicaron los puntos de contacto de la India con el exterior. Sin embargo, las matemáticas hindúes se desenvolvieron en un plano original, apoyándose más en el cálculo numérico que en el rigor deductivo.


El mundo les debe el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en occidente, un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos). Los Antiguos mayas también utilizaron los cero (siglos IV al VII). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, no era posicional, ni poseía el cero, que fue transmitido a occidente mucho más tarde, por los árabes, a través de la España e Italia medievales. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de «notación posicional con cero» dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas.

El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño tratado que data probablemente del siglo VI y parece que no es muy anterior a éste. Los trabajos matemáticos de los hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Mucho más tarde (hacia 1150), Bhaskara escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar "algebraica".

El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; así quedó abierto el camino del álgebra formal, seguido posteriormente por los árabes.

Obtenido de: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_en_la_India

HISTORIA DE LA NUMERACIÓN EN LA INDIA

El ingenioso método de expresar cada número posible utilizando un conjunto de diez símbolos (cada uno de ellos con un valor en su posición y un valor absoluto), surgió en la India.

La idea parece hoy en día tan simple que su significado y profundidad no son apreciados en su justa medida. Su simplicidad subyace en el modo en el que facilitó el cálculo y colocó la aritmética en la primera posición entre las invenciones más útiles.

La importancia del invento se aprecia con más facilidad cuando se considera que estaba mucho más allá que las ideas de dos de los mayores hombres de la antigüedad, Arquímedes y Apolonio.

Lo verdaderamente sorprende de los numerales hindúes es el sistema de lugares y valores (posición-valor), que parecen tan simple que su significado y profunda importancia no es apreciada en todo su valor. Se debe apuntar el hecho, que los sistemas numerales hindúes están basados en base 10, en oposición a los babilónicos que estaban en base 60.

Comenzando con los propios numerales, se sabe con certeza que los símbolos empleados hoy día son similares a los que se tenían en Europa en el siglo XV. Fue el avance de la imprenta lo que provocó la estandarización de esos símbolos.

Una de las fuentes de información más importantes de los numerales hindúes procede de Al-Biruni. Durante la década de 1020, Al-Biruni visitó varias veces La India. Antes de ir allí ya sabía algo de la astronomía y las matemáticas indias gracias a las traducciones árabes de algunos textos sánscritos. Hizo un estudio detallado de la filosofía hindú y analizó varias ramas de las ciencias y las matemáticas indias.

Al-Biruni escribió 27 trabajos sobre India y sobre diferentes áreas de su ciencia. En particular su recopilación sobre la astronomía india y sus matemáticas fue una valiosa contribución al estudio de la ciencia en India.

Es razonable preguntarse dónde se originaron los diferentes símbolos para los números que vio Al Biruni. Los historiadores les siguen la pista hasta los numerales Brahmi que comenzaron a aparecer alrededor de la mitad del siglo III A. C. Estos numerales Brahmi no eran sólo símbolos para los números entre el 1 y el 9. La situación es mucho más complicada porque no eran un sistema de colocación según su valor (posición-valor) sino que eran símbolos usados para describir otros muchos números.

Existen diferentes teorías concernientes al origen de los numerales que se emplean hoy en día:
• Los numerales Brahmi proceden de la cultura del valle del Indo de alrededor del año 2000 A. C.
• Los numerales Brahmi proceden de los numerales arameos.
• Los numerales Brahmi proceden del alfabeto Karoshthi.
• Los numerales Brahmi proceden del alfabeto Brahmi.
• Los numerales Brahmi proceden de un alfabeto numeral temprano posiblemente debido a Panini.
• Los numerales Brahmi proceden de Egipto.

Ifrah examina todas y cada una de las seis hipótesis por turno y las rechaza, aunque hay que reconocer que en algunos casos se debe más bien a la falta de evidencias positivas que por falta de ellas.

Ifrah propone su propia teoría: Los primeros nueve numerales Brahmi son los vestigios de una notación numérica indígena, en la que los nueve numerales estaban representados por su correspondiente número de líneas verticales... para hacer que los numerales pudieran escribirse de forma rápida estos grupos de líneas evolucionaron de forma similar a como lo hicieron los numerales del Egipto faraónico. Teniendo en cuenta el material en el que se escribía en la India (corteza de árbol u hojas de palmera) y las limitaciones de los instrumentos de escritura (cálamo o pinceles), la forma de los numerales se convirtió en algo muy complejo con numerosas uniones, hasta que perdieron cualquier parecido con los símbolos prototípicos.

Si se examina la vía que lleva de los numerales Brahmi a los símbolos presentes (ignorando los otros muchos sistemas que evolucionaron a partir de ellos), el siguiente paso serían los símbolos Gupta. El período Gupta se llama así porque durante esos años la dinastía Gupta gobernaba en el estado de Magadha situado al noreste de la India. Fue entre los primeros años del siglo IV A. C. y los últimos del siglo VI A. C. Los numerales Gupta se desarrollaron a partir de los numerales Brahmi y se extendieron por grandes áreas del imperio Gupta según aumentaba el tamaño de su territorio.

Los numerales Gupta se transformaron en los numerales Nagari, llamados también algunas veces numerales Devnagari. Estas formas evolucionadas de los numerales Gupta comenzaron a verse alrededor del siglo VII A. C. y continuaron hasta el siglo XI y más allá. Literalmente su nombre significa 'escritura de los dioses' y estaban considerados como los más bellos. Por ejemplo, Al-Biruni escribe:

Lo que nosotros (los árabes) usamos como numerales es una selección de los mejores y más regulares números hindúes.

Estos 'números más regulares' a los que se refiere Al-Biruni son los numerales Nagari que habían sido transmitidos en aquella época al mundo árabe. La forma en la que los numerales hindúes se transmitieron entre los siglos VII al XVI, sin embargo, Gupta dice que los numerales hindúes habrían alcanzado el sur de Europa a finales del siglo V; pero su argumento se basa en la 'Geometría' de Boecio que ahora se sabe procede de la primera mitad del siglo XI. Parece muy poco probable que los numerales hindúes alcanzaran Europa tan temprano como sugiere Gupta.

El segundo aspecto del sistema numeral indio, es decir, el hecho de que era un sistema de valor relativo a su posición en el que los numerales tenían diferentes valores dependiendo de su posición relativa con otros numerales. Se debe destacar que los hindúes no fueron los primeros en desarrollar tal sistema. Los babilonios tenían un sistema de posición-valor tan temprano como en el siglo XIX A. C. pero este sistema estaba en base 60. Los hindúes fueron los primeros en desarrollar un sistema posicional en base 10 y considerando lo que hicieron los babilonios, éste surgió de forma muy tardía.

Queda, por supuesto, la pregunta de por qué los hindúes desarrollaron tan ingenioso sistema mientras que los antiguos griegos, por ejemplo, no lo hicieron. Se ha intentado explicar mediante varias teorías. Algunos historiadores creen que el sistema de posición-valor en base 60 babilonios se transmitió a los hindúes a través de los griegos. La teoría plantea que estas ideas fueron transmitidas a los hindúes quienes entonces las combinaron con su propio sistema numeral en base 10 que había existido en la India durante largo tiempo.

Una segunda hipótesis es que la idea de posición-valor en los sistemas numerales hindúes procede de los chinos. En particular, los chinos tenían varas numéricas con valor pseudo-posicional que, según algunos, se convirtieron en la base del sistema posicional indio.

Una tercera hipótesis es que la posición-valor en los sistemas numerales hindúes es algo que fue desarrollado exclusivamente por los propios hindúes. Tiene una interesante teoría sobre el por qué los hindúes llegaron a ese desarrollo. La razón, según Joseph, se debe a la fascinación india por los números grandes. Freudenthal es otro historiador de las matemáticas que apoya la teoría de que la idea es enteramente india.

HISTORIA DEL CERO

Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en el sistema numérico de valor por posición. Así pues, en un número como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número en sí mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (El nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra 'cifra'.)

Ninguno de los usos de arriba tiene una fácil descripción histórica. No sucedió que alguien inventó las ideas y entonces todo el mundo comenzó a usarlos. También es justo decir que el número cero está lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas matemáticos comenzaron como problemas “reales” más que como problemas abstractos. Los números en los primeros momentos de la historia eran concebidos de una forma mucho más concreta que los abstractos conceptos que son los números de hoy.

Se podría pensar que una vez que aparece un sistema numérico de valor por posición entonces el 0 como indicador de posición vacía es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema numérico de valor por posición sin esta característica durante 1000 años. Además no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que había algún problema con la ambigüedad que existía. Extraordinariamente, sobrevivieron textos originales de la época de los matemáticos babilonios. Los babilonios escribían en tablas de arcilla sin cocer, usando escritura cuneiforme. Los símbolos se escribían en las tablas de arcilla blanda con el afilado ángulo de una aguja y por esto tienen una forma de cuña (de aquí el nombre de cuneiforme). Sobreviven muchas tablas de alrededor del año 1700 A. C. y podemos leer los textos originales. Por supuesto su notación numérica era bastante distinta de la actual (y no en base 10 sino en base 60) pero la traducción al sistema de notación no distinguiría entre el 2106 y el 216

En una tabla encontrada en Kish, una antigua ciudad de Mesopotamia situada al Este de Babilonia en lo que hoy sería la parte centro-sur de Irak, se usó una notación distinta. Esta tabla, que se piensa que data del 700 A. C., usa tres ganchos para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Otras tablas que datan más o menos de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. Esta es una característica común para este de uso diferentes marcas para denotar una posición vacía. Es un hecho que nunca tuvo lugar al final de los dígitos sino siempre entre dos de ellos. Por lo que, aunque encontramos 21”6, nunca encontramos 216”. Se debe suponer que los antiguos sentían que el contexto era suficiente para indicar lo que se pretendía aún en estos casos. Si la referencia al contexto te parece absurda, entonces es necesario hacer notar que nosotros aún usamos el contexto para interpretar los números hoy. Si tomas el autobús a una ciudad cercana y preguntas cuánto cuesta, si la respuesta es 'Son tres cincuenta' significa 3 libras y cincuenta peniques. Si la misma respuesta se da para una pregunta sobre el precio de un vuelo de Edimburgo a Nueva York entonces sé que lo que se intenta decir son trescientas cincuenta libras.

Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no es en realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso de algún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretación correcta.

Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matemáticas sobre la época en la que el cero como indicador de posición vacía empezaba a usarse por los matemáticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistema numérico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. ¿Cómo podían con los brillantes avances matemáticos de los griegos no verlos adoptar un sistema numérico con las ventajas del sistema de valor por posición que poseían los babilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es más sutil que la simple respuesta que vamos a dar, pero básicamente los logros matemáticos griegos estaban basados en la geometría. Aunque los Elementos de Euclides contenían un libro sobre Teoría Numérica, este estaba basado en la geometría. En otras palabras, los matemáticos griegos no necesitaban nombrar los números dado que trabajaban con números como longitudes de una línea. Los números que requerían ser nombrados eran usados por los mercaderes, no los matemáticos, y de aquí que no necesitasen una notación clara. Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron los matemáticos que estaban involucrados en el registro de datos astronómicos. Aquí encontramos el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero, los astrónomos griegos comenzaron a usar el símbolo O. Hay muchas teorías acerca de por qué se usó este símbolo en particular. Algunos historiadores están a favor de la explicación de que es omicrón, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir “ouden”. Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicación dado que los griegos ya usaban omicrón como un número – representaba el 70 (el sistema numérico de los griegos estaba basado en su alfabeto). Otra explicación ofrecida incluye el hecho de que significa “obol”, una moneda sin casi valor, y que surge cuando se usaban fichas para contar en una tabla de arena. La sugerencia aquí es que cuando se eliminaba una ficha para dejar una columna vacía el hueco en la arena parecía un O.

Ptolomeo en el Almagest, escrito alrededor del 130 D.C., usó el sistema babilónico sexagesimal junto con el parámetro de vacío O. En esta época Ptolomeo usaba el símbolo tanto entre dígitos como al final del número y uno estaría tentado a creer que al menos el cero como parámetro vacío se había establecido con firmeza. Esto, sin embargo, está lejos de lo que sucedió. Solo unos pocos astrónomos excepcionales usaron la notación y cayeron en desuso varias veces antes de establecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como un número por Ptolomeo quien aún lo consideraba un signo de puntuación) hace su siguiente aparición entre los matemáticos indios.

La escena ahora se mueve a la India donde es junto decir que nacieron los números y los sistemas numéricos, los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticados que usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio debía algo a los sistemas previos y muchos de los historiadores de las matemáticas creen que el uso indio del cero evolucionó del usado por los astrónomos griegos. Así como algunos historiadores parecen querer quitar importancia a la contribución de los indios de una forma poco razonable, hay también quienes afirman que los indios inventaron el cero, lo que me parece ir demasiado lejos. Por ejemplo Mukherjee en afirma:-

El concepto matemático del cero estaba presente también en la forma espiritual desde hace 17000 años en la India. Lo cierto es que alrededor del año 650 d. C. el uso del cero entró en la matemática india. Los indios usaron también un sistema de valor por posición y el cero se usaba para denotar un lugar vacío. De hecho, hay evidencias de un parámetro de lugar vacío en números posicionales desde tan pronto como el 200 d. C. en la India pero algunos historiadores rechazan estas como falsificaciones posteriores. Vamos a examinar este último uso primero ya que a partir de aquí continua el desarrollo descrito arriba.

Alrededor del 500 d. C. Aryabhata ideó un sistema numérico que no tenía aún el cero y que era un sistema posicional. Usó la palabra 'kha' para la posición y sería usado más tarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se había usado el punto en los primeros manuscritos indios para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Es interesante que los mismo documentos a veces también usan un punto para denotar algo desconocido donde nosotros usaríamos x. Posteriores matemáticos indios han nombrado el cero en números posicionales pero aún no tenían un símbolo para el mismo. El primero registro del uso indio del cero datado y sobre el que todos están de acuerdo en que es genuino fue escrito en el año 876.

Tenemos una inscripción en una tabla de piedra la cual contiene una fecha que se traduce por 876. La inscripción concierne a la ciudad de Gwalior, 400 Km. al Sur de Delhi, donde se plantaron unos jardines de 187 por 270 hasta el cual podría producir suficientes flores para permitir que se dieran 50 guirnaldas al día a los empleados del templo local. Ambos números, 270 y 50 están anotados casi como los de hoy aunque el 0 es menor y ligeramente elevado.

Podemos considerar ahora la primera aparición del cero como número. Déjanos primero apuntar que este no es un candidato natural para número en cierto sentido. Desde los inicios, los números son palabras para referirnos a colecciones de objetos. Ciertamente la idea de número se convierte en más y más abstracta y esta abstracción hace posible la consideración del cero y de los números negativos, los cuales no habían surgido como propiedades de las colecciones de objetos. Por supuesto el problema que surge cuando se intenta considerar el cero y los números negativos es cómo interactúan respecto a las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). En tres importantes libros, los matemáticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara intentaron dar respuesta a estas preguntas.

Brahmagupta intentó dar las reglas para la aritmética teniendo en cuenta el cero y los números negativos en el siglo séptimo. Explicó que, dado un número, si lo restas a sí mismo obtienes el cero. Dio las siguientes reglas para la suma que implicaban al cero:-

La suma de cero y un número negativo, es negativo, la suma de un número positivo y cero es positivo, la suma de cero y cero es cero.

La resta es un poco más compleja:-Un número negativo restado de cero es positivo, un número positivo restado de cero es negativo, cero restado de un número negativo es negativo, cero restado de un número positivo es positivo, cero restado de cero es cero.

Brahmagupta entonces dice que cualquier número multiplicado por cero es cero pero tiene una dificultad con la división:- Un número positivo o negativo cuando es dividido por cero es una fracción con cero como denominador. Cero dividido por un número positivo o negativo es o cero o expresado como fracción el cero como numerador y una cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En verdad Brahmagupta está diciendo muy poco cuando sugiere que n dividida por 0 es n/0. Claramente tiene un problema con esto. Ciertamente está equivocado cuando afirma que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un intento brillante por parte de la primera persona que sabemos que intentó extender la aritmética a los números negativos y el cero.

En 830, alrededor de 200 años después de que Brahmagupta escribiese su obra maestra, Mahavira escribió Ganita Sara Samgraha que fue diseñado como una actualización del libro de Brahmagupta. Afirma correctamente que:- Un número multiplicado por cero es cero, y un número permanece igual si se le resta cero.

Sin embargo sus intentos de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la división por cero parecen llevarle al error. Escribe:- Un número permanece sin cambio cuando es dividido por cero. Dado que esto es claramente incorrecto, mi uso de las palabras “parecen llevarle al error” podrían parecer confusas. La razón de esta frase es que algunos comentarios sobre Mahavira han intentado encontrar excusas para esta afirmación incorrecta.

Bhaskara escribió unos 500 años después de Brahmagupta. A pesar del paso del tiempo aún sigue con problemas para explicar la división por cero. Escribe:- Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es igual a cero. Esta fracción tiene como valor una cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor, no hay alteración aunque se sumen o se resten muchos; así como no tuvieron lugar cambios en el infinito e inmutable Dios cuando se crean o se destruyen los mundos, aunque numerosos órdenes de seres sean absorbidos o creados.


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